ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ в трехмерном евклидовом пространстве. Если поверхность  принадлежит евклидову пространству , то на  определено одномерное векторное расслоение называемое нормальным векторным расслоением. Слоем  над точкой  является нормаль к поверхности  в точке . Если расслоение  является одномерным тривиальным расслоением, то поверхность  называется О. п. (Расслоение называется тривиальным, если пространство расслоения гомеоморфно прямому произведению базы расслоения на слой.) Ориентация поверхности — выбор одного из двух возможных непрерывных векторных полей из единичных нормальных векторов. Всякая поверхность в евклидовом пространстве, ограничивающая часть пространства, является ориентируемой, например: сфера, тор и др.

Рассматривают также ориентируемые гладкие многообразия. Для гладкого компактного многообразия  размерности  определено касательное векторное расслоение. Внешняя п-я степень (см. Внешняя алгебра) касательного расслоения есть одномерное расслоение над . Если это расслоение тривиально, то многообразие  ориентируемо, в противном случае неориентируемо. Аналогичным образом определяется понятие ориентируемости любого векторного расслоения  размерности  над . При этом в случае ориентируемости расслоения  группа расслоения содержится в ; в случае неориентируемости группа расслоения содержится в  и не вмещается в . Здесь  — специальная ортогональная группа (изоморфная группе ортогональных матриц с определителем единица),  — ортогональная группа (изоморфная группе всех ортогональных матриц с определителем ).

Неориентируемой поверхностью в трехмерном евклидовом пространстве является лист Мёбиуса (см. Мёбиуса лист), примером неориентируемого многообразия является вещественное проективное пространство четной размерности (см. также односторонние поверхности).

Часто рассматривают согласование ориентаций куска поверхности и ограничивающей его замкнутой кривой (см. Стокса формула).