ОТОБРАЖЕНИЕ

ОТОБРАЖЕНИЕ  множества  «на» множество  — такое соответствие между элементами множеств  и , при котором образ всего множества  совпадает с , т. е. . О.  множества  на множество  называется также функцией с областью определения  и областью значений . О. множества  на множество  называется также сюръекцией. Для общего случая, когда образ , говорят, что  есть отображение  «в» . Если любые два различных элемента множества  отображаются также в различные два элемента множества , то такое отображение  в  называется инъекцией или инъективным отображением. Отображение множества  в множество , являющееся одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией (биективным отображением), т. е. биекция есть взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества отвечает один и только один элемент другого множества и, обратно, каждому элементу второго множества отвечает один и только один элемент первого множества. Биекция — важный частный случай О.

О.  одного множества  в другое множество  называется иначе (что неточно) функцией с областью определения  и множеством значений . О. из  в  записывают обычно так:  или .

Точное определение таково:  есть тройка , где  — функциональное соответствие множеств  и .

Примеры О. 1. Если  — множество треугольников,  — множество описанных вокруг каждого из них окружностей, то каждому треугольнику поставим в соответствие описанную вокруг него окружность, тогда получим О.  на .

2. Если каждому слову русского языка поставим в соответствие его первую букву, получим О. множества слов в множество букв русского алфавита.

3. Если каждому натуральному числу  поставить в соответствие его квадрат , то получим О. множества  на подмножество его квадратов.

См. также: Обратное отображение, Отношение, Соответствие.