ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ

ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ — математическое обобщение понятия функции, вызванное потребностью удобного описания многих физических и математических явлений. Следующая ситуация поясняет причины, по которым использование О. ф. бывает полезным.

Пусть дана функция . Очевидно, что предел ,  и , , т. е. предельная функция при  не существует.

С другой стороны, для фиксированной непрерывной функции  существует  и, более того, существует , равный .

Естественно считать, что существует и , только он принадлежит более широкому множеству, чем множество обычных функций. Вложение пространства обычных функций в это более широкое пространство можно осуществить следующим естественным способом (попутно определив само «более широкое пространство»).

Пусть  — множество финитных функций класса . Каждая непрерывная функция определяет непрерывный линейный функционал  в  по формуле

                  (*)

(при этом разным  соответствуют различные функционалы ). Формула (*) задает мономорфное отображение (Мономорфизм) пространства  в пространство  всех непрерывных линейных функционалов в  (непрерывность понимается в смысле топологии пространства , обычно задаваемой той или иной нормой).

При этом, как было отмечено в рассмотренном примере, возможно такое явление: предела последовательности функций из  не существует, а предел образов этих функций, т. е. линейных функционалов из , существует.

Рассмотренная конструкция оправдывает определение и название О. ф.: О, ф. есть непрерывный линейный функционал на пространстве финитных функций.

В множестве О. ф. рассматривают операции суммы О. ф. и умножения О. ф. на число, понимая под этим соответствующие операции над функционалами.

Рассматривают также дифференцирование О. ф., что определяется формулой  Здесь  — О. ф.,  — ее производная, значение  на произвольной дифференцируемой функции  равно . Это определение согласовано с определением дифференцирования обычных функций.

В частности, , где  — линейный функционал такой, что  — знаменитая обобщенная дельта-функция Дирака. Производная дельта-функция равна функционалу , определенному формулой

.

Производная функции  (функция Хевисайда) совпадает с дельта-функцией.

Рассматривают также операции интегрирования О. ф., свертки О. ф., преобразования Лапласа О. ф. (см., Лапласа преобразование) и преобразования Фурье (см. Фурье преобразование).

О. ф. весьма удобны при описании распределения физических величин в пространстве. Если непрерывное распределение масс в пространстве задается (обычной) функцией-плотностью, то такие понятия, как «плотность распределения масс материальной точки», «электрический потенциал простого и двойного слоя», требуют введения О. ф.

В теории уравнений с частными производными следующее обстоятельство играет значительную роль. Пусть дано уравнение  с нулевыми граничными и начальными условиями. (Здесь  — линейный дифференциальный оператор,  — искомая, а  — заданная в области  функция.) Если решить уравнение  для «самой простой» функции , то нетрудно получить решение задачи в общем виде: пусть такова, что . Тогда

удовлетворяет уравнению .

О. ф. были впервые рассмотрены английским ученым П. Дираком в связи с задачами квантовой механики в 20-е годы XX в. Основы теории О. ф. были заложены советским математиком С. Л. Соболевым в 1936 г. В дальнейшем теорией О. ф. занимались многие математики мира (в основном в связи с задачами математической физики). В послевоенные годы французским математиком Л. Шварцем было дано систематическое изложение теории О. ф., получивших в зарубежной литературе название «распределения».

Теория О. ф. находит все более широкое применение в различных физических, математических и прикладных исследованиях.