ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО — в самом общем смысле множество  (точек О. п.) вместе с заданной группой  (взаимно-однозначных) преобразований множества  в себя, удовлетворяющих условию транзитивности: для любых двух точек  найдется такое преобразование , что .

Всякое О. п.  можно интерпретировать в теоретико-групповых терминах (применительно к группе  и некоторой ее подгруппе ). Именно пусть  — подгруппа группы , состоящая из всех преобразований группы, оставляющих некоторую точку  неподвижной ( называется стационарной подгруппой точки ). Разобьем множество элементов группы  на подмножества (смежные классы по подгруппе ) следующим образом: два элемента  отнесем к одному классу смежности, если . Каждый класс смежности состоит из элементов вида , где  — выбранный элемент из ,  — произвольный элемент из . При этом класс смежности обозначают так: . Один и тот же класс смежности может быть обозначен по-разному:  и  — в этом случае .

Существует взаимно-однозначное соответствие между точками О. п.  и множеством смежных классов, обозначаемых . При таком соответствий действия преобразований  на  и действия  на  оказываются согласованными.

Упомянутое отображение  определено так: пусть  и  таково, что  при этом . Это определение корректно, т. е. не зависит от неоднозначности выбора .

Упомянутое действие элементов группы  на множестве смежных классов  определено формулой , и это определение корректно.

Обычна рассматривают такие О. п., множество точек  которых наделено некоторой структурой, сохраняемой при действии преобразованной группы , — топологией, метрикой и др.

Особенным вниманием математиков пользуются римановы О. п. При этом преобразования пространства, задаваемые элементами группы , называются движениями.

Самыми простыми из римановых О. п. являются евклидово пространство, Лобачевского пространство, пространства постоянной кривизпы, в частности сфера  в n-мерном евклидовом пространстве.

Как известно, в этих пространствах действует транзитивная группа движений. Например, в евклидовом пространстве труппа всех перемещений транзитивна (транзитивна даже подгруппа , состоящая из всех параллельных переносов); стационарной подгруппой точки  евклидова пространства является группа  всех вращений евклидова пространства. В согласии с общей схемой евклидово пространство изоморфно пространству . Для сферы  евклидова пространства группа движений  состоит из всех вращений евклидова пространства, а стационарная подгруппа точки  — изо всех вращений евклидова пространства вокруг оси, соединяющей центр сферы с точкой .

Понятие О. п. является одним из главных в эрлангенской программе.

Теория римановых О. п. является развитой математической теорией, содержащей ряд весьма глубоких результатов, применяемых в настоящее время во многих разделах математики. Среди этих результатов следует отметить классификацию римановых симметрических пространств, данную французским математиком Э. Картаном.

В связи с развитием теории относительности А. Энштейна теория псевдоримановых О. п. (таким пространством является многообразие «пространство-ремя» в теории относительности) получила новый импульс.

Интерес к теории О. п. в настоящее время растет среди математиков различных специальностей (это относится в первую очередь к специалистам в области алгебраической топологии, функционального анализа, теории вероятностей).