ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант) п-го порядка — алгебраическая сумма  слагаемых членов, составленных из элементов квадратной матрицы (таблицы):

по следующему закону: каждое слагаемое есть произведение  элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждый член О. берется со знаком , где  — число инверсий во вторых индексах члена, когда первые индексы члена расположены в натуральном порядке.

Для обозначения О. используется символ:

,

т. е. элементы матрицы заключаются в прямые вертикальные черточки. Этот символ был введен в XIX в. английским математиком Кэли. Следовательно, , где сумма берется по всем перестановкам из чисел , a  — число инверсий в подстановке

.

Очевидным образом можно толковать О. как числовую функцию на множестве всех квадратных матриц.

О. обладает рядом свойств, которые лежат в основе практических способов их вычислений. Основные свойства О. следующие: 1) О. не изменяется при транспонировании матриц (строк и столбцов); 2) если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то О. равен нулю; 3) если один О. получен из другого О. перестановкой двух столбцов (строк), то О. отличаются друг от друга знаком; 4) О., содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю; 5) О. не меняется, если к какому-либо столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк); 6) если все элементы какого- либо столбца (строки) О. умножить на некоторое число , то весь О. умножается на , т. е. общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак О.; 7) если элементы какого-либо i-го столбца (строки) О. являются суммами двух слагаемых, то такой О. равен сумме двух О., в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором — вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трех определителей одинаковы.

Свойство 2) и более общее свойство 4) дают лишь достаточные условия для равенства нулю О. Необходимое и достаточное условие равенства нулю О. с элементами из поля  состоит в том, чтобы какой-либо столбец (строка) был линейной комбинацией других столбцов (строк).

О. имеют многочисленные приложения к различным вопросам математики и физики. См., например: Крамера правило и опирающуюся на него Кронекера — Капелли теорему, Вронскиан, Грамма определитель и т. д.

Начало зарождения теории О. относится, по-видимому, к концу XVII в. Лейбниц (1693) в одном из писем Лопиталю сообщает,- что он сделал открытие, пользуясь системой двойных индексов коэффициентов уравнений. Однако результаты Лейбница не были опубликованы, поэтому они остались неизвестными.

В 1750 г. Крамер указывает общий закон составления О. и общие формулы для решения систем  линейных уравнений с  неизвестными. Общая теория О. была начата Вандермондом (1771) и дальнейшее существенное развитие получила (1812) в работах Бине и Коши.

В настоящее время О. применяются почти во всех разделах математики, а также в очень многих ее приложениях.