ОТНОШЕНИЕ

ОТНОШЕНИЕ: 1°. О. двух чисел — это частное от деления первого числа на второе. О. дробных чисел всегда можно заменить О. целых чисел, например:  .

2°. О. двух однородных скалярных величин — отношение их числовых значений (численных мер). Так, отношением двух отрезков называют О. их длин; отношением двух углов называют О. величин этих углов.

Можно также говорить об О. постоянных и переменных величин.

3°. О. бинарное (или соответствие) между множествами  и  — подмножество декартова произведения этих множеств, т. е. множества упорядоченных пар: . Если множество , то декартово произведение их равно  (называется декартовым квадратом множества ); тогда О. бинарное называется О. между элементами на множестве . Если элементы  и  находятся в бинарном О.  на множестве , то пишут  или .

О. бинарное  называется рефлексивным, если для всех  выполняется ; О. бинарное  называется симметричным, если для любых   влечет ; О. бинарное  называется транзитивным, если для любых  из  и  следует .

О. бинарное  называется О. эквивалентности или эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

См. также: Величина, Тернарное отношение, Порядок.

4°. О. (или соответствие) n-арное на упорядоченной n-ке множеств  это всякое подмножество  декартова произведения  При  О.  на декартовой степени  называется п-арным О. на множестве . Если , где  при , то часто это обстоятельство записывают так .

Так как О., заданные на фиксированном упорядоченном множестве , суть подмножества , то множество всех этих О. образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения О. При этом для произвольных элементов   и О.  и

 при  и ,

 при  или ,

.

Поэтому часто говорят вместо объединения, пересечения и дополнения О. об их конъюнкции, дизъюнкции и отрицании. На булевой алгебре О. можно естественным образом определить частичные операции произведения О. и обратимости О. Тогда говорят об алгебре О.

Операции (n-арные), определенные на множестве , можно рассматривать как -арные О. на . Дальнейшее развитие понятия О. приводит к предикату, а также таким весьма общим для математики в целом понятиям, как модель и алгебраическая система.