ТЕЙЛОРА РЯД

ТЕЙЛОРА РЯД функции  в точке  есть ряд:

    (1)

Здесь  определена и обладает производной любого порядка в точке .

Формально выписанный: Т. р. (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся, причем, даже будучи сходящимся, он может сходиться к функции, отличной от . Например, для функции  нельзя выписать Т. р. в точке , так как в этой точке функция не имеет производных.

Т. р.  для функции  сходится везде к функции . Т. р. для

является сходящимся, но не сходится к , а тождественно обращается в нуль. Можно также привести примеры функций, Т. р. которых расходится или сходится к другой функции. Если  — сумма первых  членов Т. р. (1), то разность  называется остаточным членом Т. р. Формула  справедлива, если .

При  Т. р. обращается в Маклорена ряд. Наиболее распространенными разложениями в Т. р. являются разложения функций:

,                   (2)

,                          (3)

,                             (4)

.                          (5)

Ряд (2) сходится: при , если ; при , если ; при  если . Ряды (3) и (4) сходятся для любых . Ряд (5) сходится при .

Справедливы следующие теоремы:

1. Если функция  разлагается в степенной ряд, то это обязательно ее Т. р.

2. Если существует такое , что  (, ), то функция  разлагается в степенной ряд на отрезке .