ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ распределения непрерывной случайной величины  — функция , определенная формулой

,           (*)

здесь  — (действительный) аргумент функции ,  — интегральная функция распределения случайной величины , — производная функции .

Д. ф. обладает следующими свойствами:

1.  всюду в области определения .

2. .

В практически интересных случаях Д. ф. распределения определена для всех , за исключением, быть может, конечного множества точек (в которых не существует производная ).

С помощью Д. ф. распределения можно вычислить , т. е. вероятность того, что случайная величина  примет значение в , именно

.               (**)

Последняя формула имеет следующий геометрический смысл: вероятность того, что случайная величина  примет значение в , численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком  и прямыми , .

Формулы (*), (**) делают понятным название Д. ф. распределения, так как (**) задает распределение вероятностей по множествам , а в (*) присутствует операция дифференцирования.

Интегральная функция распределения случайной величины  связана с Д. ф. формулой

(что оправдывает название «интегральная функция»). Многие характеристики случайной величины  удобным образом выражаются через Д. ф. — таковы математическое ожидание, дисперсия, моменты случайной величины. Значения  Д. ф.  в точке  имеют следующий вероятностный смысл:  есть плотность вероятности в том смысле, что

;                  (***)

здесь  есть вероятность того, что случайная величина  примет значение в полуоткрытом интервале  малой длины . Свойство (***) может быть сформулировано иначе: вероятность  с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , равна .

Во многих вопросах, связанных с приложениями теоремы вероятностей, бывает удобной следующая конструкция: непрерывная величина  заменяется дискретной случайной величиной , принимающей значения , ;  с вероятностями . При этом в случае малого  величины  и  мало отличаются с практической точки зрения.

Д. ф. распределения пары случайных величин  есть функция , определенная равенством

,

где  — (действительные) аргументы Д. ф., a  — интегральная функция распределения пары .

Вероятность  того, что значения пары случайных величин  будут принадлежать заданному множеству  точек плоскости , может быть вычислена по формуле

Д. ф. распределения пары содержит в себе всю информацию о паре случайных величин , включая все вопросы зависимости случайных величин. Аналогично определяется Д. ф. распределения системы случайных величин.

Д. ф. распределения иногда называется просто функцией распределения или (дифференциальным) законом распределения.