СТЕПЕННОЕ СРЕДНЕЕ

СТЕПЕННОЕ СРЕДНЕЕ положительных чисел  — числовая характеристика  этих чисел. С. с.  где  — любое действительное число, отличное от нуля. Выражение для С. с. при  дает неопределенность, раскрыв которую, например, по Лопиталя правилу приходим к геометрическому среднему. Поэтому можно считать, что  является средним геометрическим и С. с. Значение  определено для всех действительных чисел .

При  из С. с. получаем соответственно гармоническое среднее , арифметическое среднее  и квадратичное среднее .

Основное свойство С. с. состоит в том, что оно относительно  является монотонной функцией, т. е. если , то . Поэтому среднее гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное:  — удовлетворяют неравенствам        . С. с. находят различные применения во многих разделах математики и математической статистики.

См. также: Взвешенное степенное среднее.