УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО

УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО (частично упорядоченное множество). Множество  называется упорядоченным, если в нем введено бинарное отношение порядка т. е. для некоторых пар элементов  и  выполняется следующее: или  предшествует  (обозначается: ), или  предшествует  (обозначается: ) и выполняются свойства: транзитивности если  и , то ; рефлексивности  и антисимметричности:  и .

Например, любое подмножество множества действительных чисел есть У. м., если отношение порядка совпадает с отношением «больше или равно». Множество называется линейно (совершенно) упорядоченным, если для всех, а не только для некоторых пар элементов  и  множества выполняется альтернатива  или  относительно заданного отношения порядка.

Пример. Рассмотрим множество  всех подмножеств данного множества . В множестве  можно ввести отношение частичного порядка так, чтобы  стало частично упорядоченным множеством. Именно: , если  как подмножество  содержится в подмножестве . Следует отметить, что если одно множество из двух данных не содержится целиком в другом, то отношение порядка для них не определено. Иногда вводят еще отношение строгого порядка:  и . Понятие У. м. применяется в различных разделах математики, например в алгебре и функциональном анализе.