ГАЛУА ТЕОРИЯ

ГАЛУА ТЕОРИЯ — созданная Э. Галуа (1811 — 1832) теория алгебраических уравнений с одним неизвестным, т. е. уравнений вида:

           (*)

Задача ставится так: выразить корни уравнения (*) через его коэффициенты  с помощью четырех арифметических операций и операции извлечения корней. Поэтому задача часто именуется задачей о разрешимости уравнения (*) в радикалах. При  и  решение этой задачи было известно еще в античной древности. При  и  задача была решена в эпоху Возрождения (XVI в.) итальянскими математиками Бомбелли, Ферро, Кардано, Тарталья, Феррари. В течение трех следующих веков все попытки решить в радикалах уравнение (*) при  были безуспешными. В 1824 г. Абель доказал, что уравнение (*) при  (следовательно, и при любом ) не имеет решения в радикалах. Возник вопрос о том, каковы необходимые и достаточные условия разрешимости в радикалах того или иного конкретного уравнения вида (*), и другие сходные вопросы.

Г. т. решает вопрос, следуя такой схеме: каждому уравнению сопоставляется некоторая конечная группа подстановок его корней. Эта группа называется Галуа группой уравнения (*). Далее надо проверить, выполнено ли в этой группе некоторое свойство (разрешимости группы) или нет. Ответ на этот вопрос будет идентичен ответу на вопрос о разрешимости в радикалах уравнения (*).

Таким образом, в Г. т. был решен основной вопрос (того времени) теории алгебраических уравнений с одним неизвестным. Г. т. имеет ряд приложений к другим вопросам математики; в частности, с ее помощью удалось установить необходимые и достаточные условия (критерии) разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Г. т. продолжала бурно развиваться вплоть до наших дней. Крупный вклад в ее развитие был сделан И. Р. Шафаревичем, которым была решена так называемая обратная задача Г. т., состоящая в том, что по заданной группе  требуется построить уравнение (*), для которого группа  была бы группой Галуа.