ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — линия на поверхности, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Уравнение Г. л. на поверхности может быть получено решением следующей системы дифференциальных уравнений:

          (*)

Здесь  — криволинейные координаты поверхности с ортогональными линиями ;  — длина дуги;  — величина угла, образованного Г. л. с касательным вектором линии ;  — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, которая в рассматриваемом случае имеет вид: . При заданных начальных условиях , ,  система (*) однозначно определяет кривую , , которая является Г. л., проходящей через точку  в направлении, задаваемом .

Г. л. риманова пространства — кривая , , удовлетворяющая системе дифференциальных уравнений:

, ,

где  — символы Кристоффеля (см. Кристоффеля символы),  — длина дуги.

Если две точки  и  (поверхности в пространстве или n-мерного риманова пространства) достаточно близки, то из всех кривых, соединяющих эти две точки, наименьшую длину имеет Г. л.

Г. л. остается Г. л. при изгибании поверхности; она полностью определяется первой квадратичной формой поверхности (или римановой метрикой  в случае риманова пространства).