ГИПЕРБОЛА

ГИПЕРБОЛА — кривая, являющаяся пересечением кругового конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса. Другое определение: Г. есть множество точек  на плоскости, разность расстояний которых (по абсолютному значению) до двух заданных точек (фокусов Г.) постоянна (равна ) (рис. 31). Если  и  — фокусы Г.,  — текущая точка Г., то

.

Рис. 31

Если расположить точки  и  на плоскости, снабженной декартовой прямоугольной системой координат, так, чтобы координаты  и  равнялись соответственно  и , то уравнение Г. примет вид (каноническое уравнение Г.):

, ,

Числа  называются длинами соответственно действительной и мнимой полуосей, величина  называется эксцентриситетом Г., .

Г. состоит из двух ветвей. Прямые  являются асимптотами Г. Прямые  называются директрисами Г. В терминах директрис может быть сформулировано следующее характеристическое свойство точек Г.: отношение расстояния точки Г. до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.

Г. имеет две оси симметрии ( — действительная ось,  — мнимая ось и центр симметрии ). Г. — кривая второго порядка. Для того чтобы кривая второго порядка с уравнением  была Г., необходимо и достаточно, чтобы

.

Полярное уравнение Г. имеет вид:

              (*)

(В полярной системе координат, центр которой совпадает с фокусом, а полярная ось направлена по действительной оси Г. в положительном направлении.) В уравнении (*)  — полярные координаты точки Г.,  — фокальный параметр,  — эксцентриситет.

Если за оси координат на плоскости взять асимптоты Г., то уравнение Г. примет вид: .

Греч.  — избыток, превышение.

См. также: Конические сечения.