ГИПЕРБОЛОИДЫ

ГИПЕРБОЛОИДЫ — центральные поверхности 2-го порядка. Различают два вида Г.: однополостные (рис. 35, а) и двуполостные (рис. 35, б). Однополостный гиперболоид относится к числу линейчатых поверхностей, через любую точку его проходят две прямые, целиком лежащие на его поверхности. Эти прямые называются прямолинейными образующими. В сечении его различные кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола и пересекающиеся прямые. В сечении двуполостного Г. различными плоскостями получаются также эллипс, параболы и гиперболы. Оба гиперболоида имеют асимптотический конус, к которому они приближаются; однополостный Г. имеет внутренний, а двуполостный Г. — внешний асимптотический конус.

Рис. 35

Канонические уравнения Г. имеют вид:

 (однополостный),  (двуполостный).

Для того чтобы уравнение второго порядка от трех переменных

было уравнением однополостного (соответственно двуполостного) Г., необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы

 имели разные знаки и

( для двуполостного Г.).