ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР

ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР: 1°. Г. о. клеточного комплекса — оператор , определенный на цепях клеточного комплекса, т. е. на целочисленных формальных линейных комбинациях ориентированных клеток комплекса , где  — целые числа,  — ориентированные клетки. На каждую клетку  размерности  оператор  действует по формуле

,                   (*)

где ,  — все клетки размерности . Символ  означает целое число (коэффициент инцидентности), определяемое следующим образом. Пусть  — ориентированные клетки и ,  — соответствующие им характеристические отображения. Граница  множества  отображается под действием  в -мерный остов  пространства . Этот остов  стандартным образом отображается в пространство ;  (здесь  — -мерный остов, а  означает топологическое пространство , в котором подмножество  объявлено одной точкой (топология  определяется топологией ). Пространство  имеет клеточное разбиение, являющееся букетом -мерных сфер. Рассмотрим сквозное отображение:

.

Всякое отображение ориентированной сферы  в букет ориентированных сфер  гомотопически эквивалентно (см. Гомотопическая эквивалентность) отображению, построенному по следующей конструкции: сначала сфера  стягиванием в точку нескольких подмножеств , , превращается в букет сфер  (Для этого надо в качестве  выбрать сферы размерности , пересекающиеся между собой только в одной точке.) Далее букет  отображается в букет  так: сферы букета  отображаются в соответствующие (по номеру) сферы букета ; при этом каждое таксе отображение ,  (с точностью до гомотопической эквивалентности) определяется целым числом  — степенью отображения.

Итак, граница  шара  отображена в , а среди  есть та сфера, которая является образом клетки  при отображении  (пополненным одной замыкающей точкой).

Пусть номер этой сферы . Тогда

.

Действие оператора , определенное формулой (*), распространяется на множество всех цепей по линейности, т. е.

.

2°. Г. о. симплициального комплекса — оператор , определенный на цепях симплициального комплекса, т. е. на целочисленных линейных комбинациях ориентированных симплексов  где  — целые числа,  — ориентированные симплексы. На каждый симплекс размерности  оператор  действует по формуле

,           (**)

где  — совокупность когерентно ориентированных граней симплекса , т. е. если , то , здесь  вершины симплекса, а  — ориентация симплекса.