ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ — одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел. Предмет и методы Г. в большой степени изменялись на протяжении ее многовекового развития. Первые дошедшие до нас сведения о зарождении и успехах Г. связаны с задачами землемерия, вычисления объемов тел и площадей (Древний Египет, Вавилон, Древняя Греция). Уже в то время, по-видимому, возникло абстрактное понятие геометрического тела (фигуры) как некоторого объекта, сохраняющего лишь пространственные свойства соответствующего физического тела и лишенного всех остальных свойств, не связанных с понятием расстояния, протяженности и т. п. Таким образом, Г. с момента зарождения изучала некоторые (а именно — геометрические) свойства реального мира. Отмеченная связь Г. и реального мира является существенной чертой Г. на всем протяжении ее развития, при этом степень абстракции объекта изучения поднималась на все более высокий уровень.

С V в. до н. э. начинается новый этап в истории Г. Усилиями древнегреческих ученых предприняты попытки аксиоматического построения Г. Крупнейшим успехом в этом направлении явилось создание Евклидом знаменитых «Начал» (около III в. до н. э.). Впервые в истории человечества Г. была описана с помощью аксиом — «истин, не требующих доказательства» и логически вытекающих из этих аксиом выводов — теорем. Геометрический материал, изложенный в «Началах» Евклида, был довольно широк — он содержал, по существу, все теоремы, изучаемые в недавнем прошлом в школьном курсе Г., а также много сведений из теории конических сечений.

Дальнейшие качественные сдвиги в Г. имели место лишь в первой половине XVII в. н. э. В трудах великого французского ученого Р. Декарта был введен так называемый координатный метод, установивший глубокую связь между геометрическими и алгебраическими свойствами фигур. Это дало возможность применить к изучению геометрических объектов развивавшиеся в то время алгебру и анализ бесконечно малых. На этом пути возникла аналитическая геометрия и позже дифференциальная геометрия.

К тому же времени (первая половина XVII в.) относится зарождение проективной геометрии. Это было сделано в основном трудами французских ученых Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Дальнейшее развитие проективной геометрии связано с именами французских математиков Г. Монжа и Ш. Понселе. Многие теоремы проективной геометрии имели важные приложения в начертательной геометрии.

Революционным моментом в развитии Г. явилось создание неевклидовых геометрий, первая из которых названа именем великого русского математика Н. И. Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Оказалось, что если в системе аксиом Евклида аксиому параллельных заменить ей противоположной, то получаемая при этом Г. будет непротиворечивой. При этом теоремы новой Г. не соответствуют обычным наглядным представлениям. Этот факт имел огромное значение, поскольку в большой степени изменил взгляд человечества на свойства реального физического пространства. Важным шагом в развитии Г. явились работы немецкого математика Б. Римана, открывшие новые методы и объекты изучения Г., получившие впоследствии название римановых пространств. Значение работ Б. Римана стало особенно важным в связи с тем, что его идеи составили математическую основу теории относительности А. Эйнштейна. Значительное место в Г. начиная со второй половины XIX в. занимает теория групп преобразований. Основы этой теории для непрерывных групп заложил норвежский математик С. Ли. В терминах этой науки немецкий математик Ф. Клейн сформулировал новое толкование Г. как науки, изучающей свойства, инвариантные относительно заданной группы преобразований (см. Эрлангенская программа). Наиболее крупные достижения Г. в XX в. связаны с именем французского математика Э. Картана. Им открыты и исследованы так называемые симметрические пространства, а также создан метод, позволяющий исследовать системы дифференциальных уравнений, описывающих геометрические объекты (так называемый метод внешних форм Картана).

При описании развития Г. невозможно обойтись без упоминания алгебраической геометрии, оформившейся в самостоятельную математическую дисциплину, а также тензорного анализа — мощного метода исследования многомерных римановых пространств.

Геометрические идеи и методы оказались весьма важными и плодотворными во многих областях человеческих знаний, таких, как многочисленные физические теории, механика, дифференциальные уравнения, номография и т.п.

Советская математическая наука уделяла большое внимание Г. и достигла в этом направлении крупных успехов (С. П. Фиников, А. П. Норден, П. А.Широков, П. К. Рашевский, Г. Ф. Лаптев, В. В. Вагнер, А. Д. Александров, Н. В. Ефимов, А. В. Погорелов и др.).

В последнее время основные геометрические исследования связаны со следующими направлениями: теория однородных пространств, теория представлений компактных групп Ли, структуры на однородных пространствах, топологические свойства однородных пространств, вопросы Г. в целом, теория многообразий.

В школьном курсе математики изучению Г. отведено значительное место. Новая программа в большой степени изменила как объем предмета Г., традиционно изучаемый в школе, так и систему изложения материала. Построение Г. в школьном курсе аксиоматическое, система понятий и определений стала более строгой, соответствующей возросшим требованиям, предъявляемым современным состоянием научно-технического прогресса.