ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ГРУППА

ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ГРУППА топологического пространства . Пусть  — стандартная n-мерная сфера, a  и  — выделенные точки  и . Рассмотрим непрерывные отображения

,

такие, что . Множество всех отображений  разобьем на классы по отношению гомотопности отображений, т. е. в каждом классе объединим все отображения , гомотопные (см. Гомотопия) друг другу. Обозначим множество классов через . В этом множестве можно ввести структуру группы, если определить групповую операцию следующим образом. Пусть ,  и ,  представители отображений из этих классов. Отобразим стандартным образом сферу  в букет двух сфер ,  (для этого экватор сферы , проходящий через точку , следует стянуть в точку). Отобразим первую сферу букета в  с помощью , а вторую сферу — с помощью ; построенное отображение букета  в  обозначим через . Рассмотрим сквозное отображение и его гомотопический класс:

,                    (*)

Оказывается, что при выборе других представителей  классов и (вместо  и ) суперпозиция  определит тот же гомотопический класс. Таким образом по двум элементам  построен новый элемент  из . Можно доказать, что соответствие  задает групповую операцию в . При  эта операция является коммутативной и соответствующая группа — абелевой группой. При  построенная группа называется фундаментальной группой пространства .

Г. г. является одним из важнейших инвариантов гомотопического типа.

Примеры

1. , , ; здесь  — окружность,  — группа целых чисел по сложению, 0 — единичная группа.

2. , ; Здесь  и  — сферы размерности 2 и 9 соответственно,  — циклическая группа порядка 240.

Задача вычисления  привлекает внимание математиков на протяжении нескольких десятков лет. В процессе ее решения получен ряд глубоких результатов, однако надежд на полное решение в настоящее время нет.