ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЧЕТВЕРКА

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЧЕТВЕРКА точек — четыре точки  прямой проективного пространства, для которых сложное отношение равно , т. е. . Аналогично определяется Г. ч. прямых пучка первого порядка: четыре прямые  образуют Г. ч., если их сложное отношение равно , т. е. . Г. ч. точек при проектировании переходит в Г. ч. точек; это свойство Г. ч. точек используется при доказательстве ряда теорем проективной геометрии.

Если точка  — середина отрезка , то гармонически сопряженная с ней точка  относительно точек  и  будет несобственной. Это свойство Г. ч. точек используется для построения с помощью только линейки (математической, односторонней) прямой, параллельной данному отрезку, если известна его середина.

Если точки  и  — две вершины треугольника, а точки  и  — основания биссектрис (внутренней и внешней), проведенных из третьей вершины треугольника, то точки  составят Г. ч. точек (рис. 26).

Рис. 26

Г. ч. точек иначе называется гармонической группой или гармонически расположенными точками.

Г. ч. прямых пучка аналогично определяется с помощью полного четырехсторонника. Г. ч. прямых является двойственной формой Г. ч. точек (см. Двойственности принцип). При проективных преобразованиях Г. ч. точек (прямых) снова переходит в Г ч. соответствующих элементов.