ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ (или теория геометрических построений) — раздел геометрии, где изучаются вопросы и методы построения геометрических фигур, используя те или иные инструменты построения. Г. п. изучаются как в геометрии Евклида, так и в других геометриях (сферической, проективной, геометрии Лобачевского и др.), как на плоскости, так и в пространстве. Классическими инструментами построения являются циркуль и линейка (односторонняя, математическая); однако существуют построения и другими инструментами: только одним циркулем (построения Мора—Маскерони), только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и ее центр (построения Штейнера), только одной линейкой с параллельными краями, только одним угольником (модель прямоугольного треугольника), только с помощью острого угла (или только прямого угла, или с помощью двух прямых углов) и других инструментов.

Все задачи на построения как на плоскости, так и в пространстве опираются на постулаты построения (аксиомы конструктивной геометрии), т. е. на простейшие, элементарные задачи на построение, и задача считается решенной, если она сведена к конечному числу этих простейших задач-постулатов. Естественно, каждый инструмент имеет свою конструктивную силу — свой набор постулатов.

Так, известно, что разделить отрезок, пользуясь только одной линейкой, на две конгруэнтные части нельзя; а пользуясь циркулем, это сделать можно.

Рассматривают построения с «недоступными точками», «недоступными прямыми» и другие построения.

Важнейшими методами Г. п. являются: метод множества точек и пересечения множеств, метод геометрических преобразований и алгебраический метод. Один из самых мощных методов решения задач на построение — алгебраический метод, который позволяет ответить на вопрос: можно ли ту или иную задачу на построение решить циркулем и линейкой. Так, с помощью алгебраического метода устанавливается, что построить треугольник по трем его различным биссектрисам нельзя (а по трем высотам и медианам можно); разделить произвольный угол на три конгруэнтных угла также нельзя (хотя угол, величина которого равна , разделить на три конгруэнтные части можно циркулем и линейкой). При решении задач на построение традиционная методика рекомендовала нам четыре этапа: анализ, синтез (построение), доказательство и исследование. Однако указанная схема решения задачи весьма академична, и для ее осуществления требуется много времени. Часто отдельные этапы традиционной схемы решения задачи опускаются, в частности этап «доказательства» нередко опускается.

Приведем пример решения задачи, считая, что постулаты построения известны. Задача: «Построить треугольник , зная его основание , высоту , медиану ».

Решение. Предположим, что задача решена и треугольник  (рис. 28) построен. Задача будет решена, если мы построим вершину  треугольника, так как основание  легко строится на любой прямой. Но вершина  находится от прямой  на расстоянии, равном данной высоте, а от середины  отрезка  на расстоянии, равном данной медиане. Следовательно, точка  принадлежит как множеству точек плоскости, находящихся от прямой  на расстоянии, равном , так и множеству точек окружности с центром в точке  и радиусом . Таким образом, искомая точка  принадлежит пересечению этих множеств, т. е. пересечению двух прямых, параллельных прямой , и окружности с центром в точке  и радиусом, равным медиане . Отсюда легко следует построение треугольника  и исследование задачи. Построение и доказательство опускаем. Задача имеет решение, если длина медианы больше длины высоты. Всего будет четыре решения, но все треугольники при этом будут конгруэнтными. Так что за искомое решение задачи принимают только один из четырех конгруэнтных треугольников. Если длина высоты и медианы одна и та же, то решением задачи будут два конгруэнтных треугольника, которые принимаются за одно решение (оба треугольника равнобедренные).

Рис. 28

Мы указали решение этой несложной задачи методом пересечения фигур или методом пересечения точечных множеств. Однако решить задачу можно и так: построить прямоугольный треугольник  (по гипотенузе и катету), а затем отложить на прямой  от точки  по разные стороны от нее два конгруэнтных отрезка  и , конгруэнтные половине отрезка . Соединив точки  и ,  и , получим искомый треугольник.

Рис. 29

Естественно, что одну и ту же задачу на построение можно решить различными способами. Например, разделить данный отрезок на три конгруэнтных отрезка можно по меньшей мере тремя способами: 1-й способ основан на применении теоремы Фалеса (рис. 29, а), 2-й способ основан на теоремах о пропорциональных отрезках (рис. 29,б): , ,  — конгруэнтные отрезки, прямые  и  параллельны, прямые  — прямые пучка с центром , следовательно, отрезки  конгруэнтны. 3-й способ основан на свойстве медиан треугольника. Примем отрезок  за медиану некоторого треугольника (рис. 29, в), проведем через точку  произвольную прямую  и на ней построим конгруэнтные отрезки  и , затем построим отрезок  и найдем его середину. Пересечение отрезков-медиан (треугольника )  и  даст точку  — центроид треугольника . Построив отрезок , конгруэнтный отрезку , тем самым решим задачу.

Приведем пример задачи на Г. п. с недоступным элементом (точкой). «Дан треугольник с недоступной вершиной. Вычислить его периметр».

Рис. 30

Решение. Пусть точка (вершина)  недоступна (рис. 30), т. е. эту точку можно мыслить расположенной за стеной, за горой или в озере.

Примем прямую  за ось симметрии и построим треугольник, симметричный данному. Для этого возьмем доступные точки сторон  и , построим им симметричные, после чего легко строится , симметричный . Периметр  (сумма длин сторон) равен периметру искомого треугольника. Очевидно, что в этой задаче можно было бы поставить вопрос о нахождении также высоты, или медианы, или биссектрисы (их длин), проведенных из недоступной вершины треугольника. Можно было бы решать задачу и иначе: построить в доступной части чертежа (плоскости) угол, конгруэнтный данному и с сонаправленными сторонами (лучами), а затем в этом углу провести отрезок, параллельный и конгруэнтный отрезку , и с концами, принадлежащими сторонам построенного угла.

Тогда бы задача была сведена к конгруэнтному треугольнику со всеми доступными вершинами и сторонами.