ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА

ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА: 1° Г. т. множества действительных чисел — такая точка, что в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Г. т. множества сама может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Примеры

1. Для множества рациональных чисел  на отрезке [0; 1] граничными точками являются все (как рациональные, так и иррациональные) точки отрезка [0,1];

2. Для множества точек ,  граничными точками являются точки множества  и, кроме того, нуль;

3. Граничными точками открытого промежутка  служат точки  и .

2° Г. т. множества n-мерного арифметического, или метрического, пространства — такая точка, что в любом, содержащем ее открытом шаре имеются как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Г. т. множества может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

3°. Г. т. подмножества  топологического пространства  — всякая точка удовлетворяющая условию: любая окрестность точки  в  содержит по крайней мере одну точку, принадлежащую , и хотя бы одну точку не принадлежащую . Понятие Г. т. подмножества  топологического, пространства  в качестве частного случая включает в себя определения 1° и 2°. При этом вещественная прямая и метрическое пространство рассматриваются как топологические пространства. Система окрестностей здесь задается множествами вида ,  — любая точка ,  — любое действительное положительное число.

Примеры

1. Для множества точек  плоскости, удовлетворяющих условиям , , граничными точками являются точки двух концентрических окружностей с центром в начале координат  и радиусами  и  (в случае  одна из окружностей заменится точкой — началом координат, рис. 40, а).

2. Граничными точками множества точек  в пространстве, определяемого условиями , служат точки параболоида вращения с уравнением , лежащие ниже плоскости , и точки круга, лежащего в этой плоскости и ограниченного окружностью, являющейся пересечением параболоида с плоскостью  (рис. 40, б).

Рис. 40