ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Пусть  — некоторое множество и ;  — два взаимно однозначных отображения этого множества на себя. Тогда определены взаимно однозначные отображения  (композиция отображений  и ), ,  (обратные отображения к  соответственно). Как известно, операция композиции отображений обладает свойством ассоциативности, т. е., в частности, для любых трех взаимно однозначных отображений  справедливо . Это обстоятельство позволяет ввести в множество всех взаимно однозначных отображений (преобразований) множества  структуру группы относительно операции композиции отображений. Построенная таким способом группа, а также любая её подгруппа называется Г. п. множества .

Пример. Если  — конечное множество и его элементы занумерованы символами , то всякое взаимно однозначное отображение множества  на себя является перестановкой символов . Множество всех перестановок относительно операции умножения перестановок является группой (см. Симметрическая группа).

Часто понятие Г. п. рассматривают при дополнительных условиях, налагаемых на множество  и его преобразования. В этих случаях предполагают, что множество  наделено некоторой структурой, а преобразования множества  сохраняют эту структуру.

Примеры. 1)  — n-мерное линейное пространство, а отображения  на себя — (невырожденные) линейные преобразования. Множество всех преобразований , обладающих указанным свойством, является группой относительно композиции линейных преобразований.

2)  — гладкое многообразие, отображения  на себя — диффеоморфизмы. Множество всех диффеоморфизмов многообразия  относительно операции композиции диффеоморфизмов является группой, обозначаемой символом .

3)  — евклидово пространство, отображения  на себя — перемещения. Множество всех перемещений пространства  относительно операции композиции перемещений является группой.