ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Г.ф. синус и Г. ф. косинус обозначаются соответственно и  и определяются равенствами:

, ,

Г.ф. тангенс и котангенс определяются так:

, .

По аналогии с обычным тригонометрическим секансом определяется Г. ф. секанс и аналогично тригонометрическому косекансу определяется Г. ф. косеканс.

Многие свойства Г. ф. аналогичны свойствам тригонометрических функций; Г.ф. синус — функция нечетная, а Г.ф. косинус — четная; однако обе эти Г.ф. — неограниченные и могут принимать значения сколь угодно большие. Имеют место следующие формулы:

;

;

Если тригонометрические функции связаны с параметризацией окружности , , , то Г.ф. связаны с параметризацией равнобочной гиперболы , , . Числовой аргумент  выражает двойную площадь заштрихованного криволинейного треугольника  (рис. 33, а), аналогично тому как для круговых (тригонометрических) функций аргумент  численно равен удвоенной площади криволинейного треугольника (рис. 33, б): пл. , т. е.  пл. .

Рис. 33

Г. ф. играют большую роль в геометрии Лобачевского; они используются также при изучении сопротивления материалов, в электротехнике и других областях знаний.

Г. ф. рассматриваются также в комплексной области.

Г. ф. и тригонометрические синус и косинус связаны равенствами:

, ,

где  — мнимая единица.

См. также: Эйлера формулы, Круговые функции, Тригонометрические функции.