ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — обобщение n-мерного евклидова пространства на бесконечномерный случай. Элементом (вектором) Г. п. является последовательность чисел  такая, что ряд  сходится. Обычным образом определяется сложение векторов и умножение вектора на число. Скалярное произведение двух векторов  и  равно по определению

                 (*)

причем этот ряд всегда сходится, если сходятся ряды ,  Г. п. можно интерпретировать как пространство интегрируемых с квадратом функций. Именно, если каждой такой функции, заданной, скажем, на отрезке , поставить в соответствие последовательность ее коэффициентов Фурье по заданной ортонормированной полной системе функций, то скалярное произведение функций  и

в терминах этих коэффициентов запишется в виде (*). В этой интерпретации две различные функции с одинаковыми коэффициентами Фурье задают один элемент. Существуют также и другие модели Г. п. Наиболее общее определение Г. п. таково — это полное векторное пространство со скалярным произведением. Из свойств Г. п. весьма важным является полнота (см. Полное пространство) в смысле нормы, определяемой скалярным произведением (*):

.

Г. п. рассматривалось впервые в работах немецкого математика Д. Гильберта. Понятие Г. п. встречается во многих отделах математики: в функциональном анализе, теории вероятностей, интегральных уравнениях и др.