ГРУППА

ГРУППА — одно из основных понятий современной математики. Г. называется непустое множество элементов , для которых определена одна бинарная операция удовлетворяющая условию ассоциативности:

,

и такая, что уравнения  и  разрешимы и притом однозначно для любых .

В Г. существует единица, т. е. такой элемент , что для всякого  верны равенства . Для всякого элемента Г.  существует единственный обратный элемент , такой, что , где  — единица группы.

Важным примером Г. является множество подстановок  символов относительно операции умножения подстановок. Эти Г. впервые начали появляться в работах французских математиков Ж. Лагранжа и А. Вандермонда в конце XVIII в. Затем Г. подстановок использовали итальянский математик П. Руффини и норвежский математик Н. Абель для доказательства неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени . Термин Г. был введен французским математиком Э. Галуа (см. Галуа теория). Им же получены первые серьезные результаты в теории Г. Большую роль в развитии теории Г. сыграла монография по Г. французского математика К. Жордана (1870). Далее изучение Г. происходило очень бурно. И к 1916 г. с выходом книги русского математика О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» теория Г, окончательно оформилась как самостоятельная область математики.

В современной теории Г., с одной стороны, выделился ряд направлений, связанных с теми или иными ограничениями, налагаемыми на групповую операцию: теория конечных Г., абелевых Г., нильпотентных и разрешимых Г., конечно-определенных Г. и т. д. С другой стороны, выделился ряд направлений, связанных с внесением в Г. дополнительных отношений, согласованных с групповой операцией, таких, как Ли Г., непрерывные группы, упорядоченные Г. и т. д. И наконец, понятие Г. обобщалось в разных направлениях, что в свою очередь привело к созданию ряда содержательных теорий, таких, как теория квазигрупп и луп, полугрупп и т. д.