ГАУССОВА КРИВИЗНА

ГАУССОВА КРИВИЗНА поверхности в точке  определяется формулой , где  — радиусы главных кривизн в точке, т. е. радиусы максимальной и минимальной кривизны плоских кривых (нормальных сечений), которые получаются от пересечения данной поверхности с плоскостями, проходящими через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке .

Г. к. иначе называется полной кривизной. Г. к. играет важную роль при рассмотрении вопроса об изгибании поверхности. Всякая поверхность, имеющая Г. к. (полную кривизну), равную нулю в каждой точке, допускает развертывание на плоскость.

Полусумма (иногда сумма) главных кривизн в точке называется средней кривизной , в то время как Г. к. представляет собой произведение главных кривизн.

При изгибании поверхности средняя кривизна, вообще говоря, изменяется, а гауссова остается инвариантной в каждой точке поверхности.

Г. к. поверхности следующим образом выражается через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности (см. Первая квадратичная форма поверхности, Вторая квадратичная форма поверхности):

,

где  -— первая квадратичная форма,  — вторая квадратичная форма поверхности,  — координаты на поверхности.