ГОМОТЕТИЯ

ГОМОТЕТИЯ — один из видов преобразования плоскости и пространства. Г. с центром в точке  и коэффициентом  называется такое отображение множества точек плоскости на себя, при котором всякая точка  отображается в точку  такую, что выполняется векторное равенство: . Аналогично Г. определяется и для трехмерного пространства. Г. при  означает как бы «растяжение» всей плоскости от точки  — центра Г. Если коэффициент Г.  положительный, но меньше 1 , то Г. есть «сжатие» плоскости к точке . Если , то Г. есть тождественное преобразование (отображение) плоскости на себя.

Если коэффициент Г. , то Г. есть центральная симметрия с центром симметрии в точке . Отметим другие свойства Г. Любая прямая при Г. отображается на параллельную прямую, совпадающую или не совпадающую с первой прямой; всякий отрезок  отображается на параллельный отрезок  так, что отношение их длин равно коэффициенту . В преобразовании Г. центр Г. отображается на себя, т.е. остается неподвижной точкой.

Множество Г. с общим центром представляет собой группу преобразований. Г. есть частный случай более общего преобразования — подобия. Г. может задаваться по-разному: центром и коэффициентом Г.; центром и двумя соответственными точками; двумя парами соответственных точек  и ,  и . Всякая окружность при Г. отображается на окружность, при этом центр одной из них переходит в центр другой.

Г. используется при копировании фигур с помощью пантографа, при съемках плана на местности (мензульная съемка), при фотографировании, при решении задач на построение (метод гомотетии).